Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Circuitos RLC em paralelo têm diversas aplicações, como em projetos de filtros e redes de comunicação. Suponha que a corrente inicial I0 no indutor e a tensão inicial V0 no capacitor sejam:
\begin{align} {\Large i(0) = I_0 = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0} v(t) dt} \end{align}\begin{align} {\Large v(0) = V_0} \end{align}Portanto, aplicando a LKC ao nó superior fornece:
\begin{align} {\Large \frac{v}{R} + \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} v(\tau) d\tau + C \frac{dv}{dt} = 0} \end{align}Extraindo a derivada em relação a t e dividindo por C resulta em:
\begin{align} {\Large \frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{LC} v = 0} \end{align}Obtemos a equação característica substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s^2:
\begin{align} {\Large s^2 + \frac{1}{RC} s + \frac{1}{LC} = 0} \end{align}Assim, as raízes da equação característica são:
\begin{align} {\Large s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}} \end{align}onde:
\begin{align} {\Large \alpha = \frac{1}{2RC}, \space \space \space \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} } \end{align}Quando α > ω0, as raízes da equação característica são reais e negativas. A resposta é:
\begin{align} {\Large v(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} } \end{align}Quando α = ω0 as raízes da equação característica são reais e iguais de modo que a resposta seja:
\begin{align} {\Large v(t) = (A_1 + A_2t)e^{-\alpha t}} \end{align}Quando α < ω0, nesse caso, as raízes são complexas e podem ser expressas como segue:
\begin{align} {\Large s_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d} \\ \\{\Large \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}} \end{align}\begin{align} {\Large v(t) = e^{-\alpha t}(A_1 cos(\omega_d t) + A_2 sen(\omega_d t))} \end{align}As constantes A1 e A2 em cada caso podem ser determinadas a partir das condições iniciais. Precisamos de v(0) e dv(0)/dt.
Exemplo 8.5
No circuito paralelo da Figura 8.13, determine v(t) para t > 0, supondo que v(0) = 5 V, i(0) = 0, L = 1 H e C = 10 mF. Considere os seguintes casos:
R = 1,923 Ω,
R = 5 Ω e
R = 6,25 Ω .
In [4]:
print("Exemplo 8.5")
from sympy import *
m = 10**(-3) #definicao de mili
L = 1
C = 10*m
v0 = 5
i0 = 0
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
t = symbols('t')
def sqrt(x, root = 2): #definir funcao para raiz
y = x**(1/root)
return y
print("\n--------------\n")
## PARA R = 1.923
R = 1.923
print("Para R = ", R)
def resolve_rlc(R,L,C):
alpha = 1/(2*R*C)
omega = 1/sqrt(L*C)
print("Alpha:",alpha)
print("Omega:",omega)
s1 = -alpha + sqrt(alpha**2 - omega**2)
s2 = -alpha - sqrt(alpha**2 - omega**2)
def rlc(alpha,omega): #funcao para verificar tipo de amortecimento
resposta = ""
if alpha > omega:
resposta = "superamortecimento"
v = A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)
elif alpha == omega:
resposta = "amortecimento critico"
v = (A1 + A2*t)*exp(-alpha*t)
else:
resposta = "subamortecimento"
v = exp(-alpha*t)*(A1*cos(omega_d*t) + A2*sin(omega_d*t))
return resposta,v
resposta,v = rlc(alpha,omega)
print("Tipo de resposta:",resposta)
print("Resposta v(t):",v)
print("v(0):",v.subs(t,0))
print("dv(0)/dt:",v.diff(t).subs(t,0))
return alpha,omega,s1,s2,resposta,v
alpha,omega,s1,s2,resposta,v = resolve_rlc(R,L,C)
#v(0) = 5 = A1 + A2 -> A2 = 5 - A1
#dv(0)/dt = -2A1 - 50A2
#C*dv(0)/dt + i(0) + v(0)/R = 0
#0.01*(-2A1 - 50A2) + 0 + 5/1.923 = 0
#(-2A1 -50(5 - A1)) = -5/(1.923*0.01)
#48A1 = 250 - 5/(1.923*0.01)
A1 = (250 - 5/(1.923*0.01))/48
print("Constante A1:",A1)
A2 = 5 - A1
print("Constante A2:",A2)
v = A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)
print("Resposta v(t):",v,"V")
print("\n--------------\n")
## PARA R = 5
R = 5
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
print("Para R = ", R)
alpha,omega,s1,s2,resposta,v = resolve_rlc(R,L,C)
#v(t) = (A1 + A2t)e^(-alpha*t)
#v(0) = A1 = 5
A1 = 5
#C*dv(0)/dt + i(0) + v(0)/R = 0
#0.01(-10A1 + A2) + 0 + 5/5 = 0
#0.01A2 = -1 + 0.5
A2 = (-1 + 0.5)/0.01
print("Constante A1:",A1)
print("Constante A2:",A2)
v = (A1 + A2*t)*exp(-alpha*t)
print("Resposta v(t):",v,"V")
print("\n--------------\n")
## PARA R = 6.25
R = 6.25
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
print("Para R = ", R)
omega_d = sqrt(omega**2 - alpha**2)
alpha,omega,s1,s2,resposta,v = resolve_rlc(R,L,C)
#v(t) = e^-(alpha*t)*(A1cos(wd*t) + A2sen(wd*t))
#v(0) = A1 = 5
A1 = 5
#C*dv(0)/dt + i(0) + v(0)/R = 0
#0.01*(-8A1 + 6A2) + 0 + 5/6.25 = 0
#-0.4 + 0.06A2 = -5/6.25
A2 = (-5/6.25 + 0.4)/0.06
print("Constante A1:",A1)
print("Constante A2:",A2)
v = exp(-alpha*t)*(A1*cos(omega_d*t) + A2*sin(omega_d*t))
print("Resposta v(t):",v,"V")
Problema Prático 8.5
Na Figura 8.13, seja R = 2 Ω, L = 0,4 H, C = 25 mF, v(0) = 0, e i(0) = 50 mA. Determine v(t) para t > 0.
In [5]:
print("Problema Prático 8.5")
R = 2
L = 0.4
C = 25*m
v0 = 0
i0 = 50*m
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
alpha,omega,s1,s2,resposta,v = resolve_rlc(R,L,C)
#C*dv(0)/dt + i(0) + v(0)/R = 0
#C*(-10A1 + A2) + i0 + v(0)/2 = 0
#v(0) = 0 = A1
#C*A2 = -i0
A2 = -i0/C
A1 = 0
print("Constante A1:",A1)
print("Constante A2:",A2)
v = (A1 + A2*t)*exp(-10.0*t)
print("Resposta v(t):",v,"V")
Exemplo 8.6
Determine v(t) para t > 0 no circuito RLC da Figura 8.15.
In [12]:
print("Exemplo 8.6")
u = 10**(-6) #definicao de micro
Vs = 40
L = 0.4
C = 20*u
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
#Para t < 0
v0 = Vs*50/(50 + 30)
i0 = -Vs/(50 + 30)
print("V0:",v0,"V")
print("i0:",i0,"A")
#Para t > 0
#C*dv(0)/dt + i(0) + v(0)/50 = 0
#20u*dv(0)/dt - 0.5 + 0.5 = 0
#dv(0)/dt = 0
R = 50
alpha,omega,s1,s2,resposta,v = resolve_rlc(R,L,C)
#v(0) = 25 = A1 + A2
#A1 = 25 - A2
#dv(0)/dt = -146A1 - 854A2 = 0
#-146(25 - A2) - 854A2 = 0
#146A2 - 854A2 = 3650
#-708A2 = 3650
A2 = -3650/708
A1 = 25 - A2
print("Constante A1:",A1)
print("Constante A2:",A2)
v = A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)
print("Resposta v(t):",v,"V")